Question

（2013•牡丹江一模）某大學高等數學老師這學期分別用A，B兩種不同的教學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數均為60人，入學數學平均分數和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）．現隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數學期末考試成績，得到莖葉圖：
（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個班的平均分高？
（Ⅱ）現從甲班高等數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為86分的同學至少有一個被抽中的概率；
（Ⅲ）學校規定：成績不低于85分的為優秀，請填寫下面的2×2列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關？”

	甲班	乙班	合計
優秀
不優秀
合計

下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲班高等數學成績集中于60分-90分之間，而乙班數學成績集中于80-100分之間，可得乙班的平均分高．
（Ⅱ）記成績為86分的同學為A，B其他不低于80分的同學為 C、D、E、F，一切可能結果組成的基本事件有15個，
“抽到至少有一個86分的同學”所組成的基本事件有9個，由此求得所求事件的概率．
（Ⅲ）計算K²=

4×(3×10×-10×17)2

13×27×20×20

≈5.584＞5.024，由此得出結論．

解答：解：（Ⅰ）甲班高等數學成績集中于60分-90分之間，而乙班數學成績集中于80-100分之間，
所以乙班的平均分高．-----（3分）
（Ⅱ）記成績為86分的同學為A，B其他不低于80分的同學為 C、D、E、F，
“從甲班高等數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結果組成的基本事件有：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）、
（C，D）、（C，E）、（C，F）、（D，E）、（D，F）、（E，F），一共15個，
“抽到至少有一個86分的同學”所組成的基本事件有：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）
共9個，------（5分）
故 所求事件的概率為 P=

9

15

=

3

5

．-----（7分）

	甲班	乙班	合計
優秀	3	10	13
不優秀	17	10	27
合計	20	20	40

---------（9分）
（Ⅲ）K²=

4×(3×10×-10×17)2

13×27×20×20

≈5.584＞5.024，因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，
可以認為成績優秀與教學方式有關．------（12分）

點評：本題主要考查古典概型及其概率計算公式，莖葉圖以及獨立性檢驗，屬于基礎題．