Question

已知P是拋物線x²=4y上的一點(diǎn)，A（2，3）是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是

（2，1）

時(shí)，PA+PF 最小．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，由拋物線的定義得PA+PF=PA+PQ，根據(jù)平面幾何知識(shí)得A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PQ達(dá)到最小值．由此加以計(jì)算，即可得到使得PA+PF取最小值的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線x²=4y中，2p=4，得

p

2

=1，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線為y=-1，
設(shè)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，
根據(jù)拋物線的定義，得PA+PF=PA+PQ，
由平面幾何的性質(zhì)，當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PQ達(dá)到最小值．
∴當(dāng)A、P、Q的橫坐標(biāo)相等時(shí)，三點(diǎn)共線且所在直線與準(zhǔn)線垂直，
此時(shí)PA+PF達(dá)到最小值．
即當(dāng)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)PA+PF 最小，設(shè)P（2，n）代入拋物線得2²=4n，解得n=1，得P（2，1）．
故答案為：（2，1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出定點(diǎn)A與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P，求拋物線的焦點(diǎn)和A點(diǎn)到點(diǎn)P距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．