Question

某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為k．輪船的最大速度為15海里/小時(shí)．當(dāng)船速為10海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí)150元．假定運(yùn)行過程中輪船以速度v勻速航行．
（1）求k的值；
（2）求該輪船航行100海里的總費(fèi)用W（燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用）的最小值．

Answer 1

（1）由題意，設(shè)燃料費(fèi)為W1=kv2，
∵當(dāng)船速為10海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元，
∴當(dāng)v=10時(shí)，W₁=96，可得96=k×10²，解之得k=0.96．
（2）∵其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí)150元．
∴航行100海里的時(shí)間為

100

v

小時(shí)，可得其余航行運(yùn)作費(fèi)用為

100

v

×150=

15000

v

元
因此，航行100海里的總費(fèi)用為
W=0.96v2?

100

v

+

15000

v

=96v+

15000

v

（0＜v≤15）
∵96v+

15000

v

≥2

1440000

=2400，
∴當(dāng)且僅當(dāng)96v=

15000

v

時(shí)，即v=

15000 96

=12.5＜15時(shí)，
航行100海里的總費(fèi)用最小，且這個(gè)最小值為2400元．
答：（1）k值為0.96，（2）該輪船航行100海里的總費(fèi)用W的最小值為2400（元）．