Question

【題目】已知函數f（x）g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f（x）+g（x）=23x．

（1）證明：f（x）-g（x）=23-x，并求函數f（x），g（x）的解析式；

（2）解關于x不等式：g（x2+2x）+g（x-4）＞0；

（3）若對任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-4恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（-∞，-4）∪（1，+∞）；（3）3.

【解析】

（1）根據偶函數和奇函數的定義，令-x代替x，即可求出f（x）-g（x）的解析式，再利用方程組求出f（x）、g（x）的解析式；（2）根據g（x）是定義域R上的增函數，把不等式化為x2+2x＞4-x，求出解集即可；（3）根據f（x）≥2把不等式化為，再構造函數，求出函數的最小值，即可求得實數m的最大值．

（1）證明：函數f（x）、g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，

∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）；

又f（x）+g（x）=23x，①

∴f（-x）+g（-x）=23-x，

即f（x）-g（x）=23-x，②

由①②求得函數f（x）=3x+3-x，

g（x）=3x-3-x；

（2）解：g（x）=3x-3-x是定義域R上的單調增函數，

所以不等式g（x2+2x）+g（x-4）＞0可化為g（x2+2x）＞-g（x-4）=g（4-x），

即x2+2x＞4-x，整理得x2+3x-4＞0，解得x＜-4或x＞1，

所以不等式的解集為（-∞，-4）∪（1，+∞）；

（3）解：對任意x∈R，函數f（x）=3x+3-x≥2=2，當且僅當x=0時取“=”；

所以不等式f（2x）≥mf（x）-4化為32x+3-2x≥m（3x+3-x）-4，

即m≤=；

設t=3x+3-x，則t≥2，

所以函數g（t）=t+在區間[2，+∞）上單調遞增，

g（t）min=g（2）=2+1=3，即m≤3,

所以實數m的最大值為3．