Question

如圖所示，已知D為△ABC的BC邊上一點，⊙O₁經過點B，D，交AB于另一點E，⊙O₂經過點C，D，交
AC于另一點F，⊙O₁與⊙O₂交于點G．
（1）求證：∠EAG=∠EFG；
（2）若⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，AC=10，AG切⊙O₂于G，求線段AG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接兩個圓的公共弦GD，然后根據圓內接四邊形的性質，易得AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，即∠AEG+∠AFG=180°，再由圓內接四邊形的判定定理，易得A，E，G，F四點共圓，進而再由圓周角定理的推論得到：∠EAG=∠EFG；
（2）由已知中⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，由垂徑定理，我們可以求出FC的長，結合AC=10，AG切⊙O₂于G，由切割線定理，我們易求出AG的長．
解答：解：（1）連接GD，因為四邊形BDGE，CDGF分別內接于⊙O₁，⊙O₂，
∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，
又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°．
即A，E，G，F四點共圓，∴∠EAG=∠EFG．
（2）因為⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，
所以由垂徑定理知FC=2=8，又AC=10，
∴AF=2，∵AG切⊙O₂于G，∴AG²=AF•AC=2×10=20，AG=2．
點評：本題考查的知識點是圓內接四邊形的性質及判定定理，切割線定理，其中（1）中關鍵是判斷出A，E，G，F四點共圓，（2）中關鍵是由垂徑定理求也FC的長．