Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等腰直角三角形，PA⊥PD，CD⊥AD，AB=AD=2，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點．
求證：（1）平面BEF∥平面PCD；
　　　（2）直線PA⊥平面PCD；
　　　（3）求三棱錐E-ABF體積．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理證明BF⊥AD，從而可證BF∥CD，又EF∥PD，利用面面平行的判定定理證明平面BEF∥平面PCD；
（2）根據面面垂直的性質得CD⊥平面PAD，可證CD⊥PA，再由線線垂直證明線面垂直；
（3）三棱錐E-ABF換底為A-BEF，利用（1）和（2）的結論分別求得高于底面面積，代入三棱錐的體積公式計算．

解答：解：（1）證明：∵F為AD的中點，∴AF=1，
又AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理得：BF=

3

，
∵AF²+BF²=AB²，∴BF⊥AD，∵CD⊥AD，BF與CD共面，∴BF∥CD，
又BF?平面PCD，CD?平面PCD，∴BF∥平面PCD，
∵E、F分別是AP、AD的中點．∴EF∥PD，EF?平面PCD，PD?平面PCD，
∴EF∥平面PCD，又∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD，
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，又PD⊥PA，CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD．
（3）∵平面BEF∥平面PCD，PA⊥平面PCD，
∴PA⊥平面BEF，∴AE為三棱錐A-BEF的高，AE=

1

2

PA，
∵△PAD是等腰直角三角形，AD=2，∴PA=

2

，∴AE=

2

2

，
由（1）知BF⊥EF，EF=

1

2

PD=

2

2

，
∴V_E-ABF=V_A-BEF=

1

3

×

1

2

×BF×EF×AE=

1

3

×

1

2

×

3

×

2

2

×

2

2

=

3

12

．

點評：本題考查了面面平行與線面垂直的證明，考查了三棱錐的體積計算，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力，