Question

某單位決定對本單位職工實行年醫療費用報銷制度，擬制定年醫療總費用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報銷方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①報銷的醫療費用y(萬元)隨醫療總費用x(萬元)增加而增加；②報銷的醫療費用不得低于醫療總費用的50%；③報銷的醫療費用不得超過8萬元．

(1)請你分析該單位能否采用函數模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作為報銷方案；

(2)若該單位決定采用函數模型y＝x－2lnx＋a(a為常數)作為報銷方案，請你確定整數a的值．(參考數據：ln2≈0.69，ln10≈2.3)

 

Answer 1

（1）不符合（2）a的值為1.

【解析】審題引導：正確理解三個條件：①要求模型函數在[2，10]上是增函數；②要滿足y≥恒成立；③要滿足y的最大值小于8.

規范解答：【解析】
(1)函數y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函數，滿足條件①，(2分)

當x＝10時，y有最大值7.4萬元，小于8萬元，滿足條件③.(4分)

但當x＝3時，y＝，即y≥不恒成立，不滿足條件②，故該函數模型不符合該單位報銷方案．(6分)

(2)對于函數模型y＝x－2lnx＋a，設f(x)＝x－2lnx＋a，則f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函數，滿足條件①.由條件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，則g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函數，在(4，10)上是減函數．

∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)

由條件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.

另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)

綜上所述，a的取值范圍為[4ln2－2，2ln2]，

∴滿足條件的整數a的值為1.(14分)