Question

（本題滿分14分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)．一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)．
（1）若，求的值；（5分）
（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（5分）
（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．（4分）

Answer 1

（1）
（2）的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)
（3）略

解：（1）設(shè)直線的方程為，
將該方程代入得．
令，，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162738256729.gif" style="vertical-align:middle;" />，解得，
或（舍去）．故．
（2）由題意知，直線的斜率為．
又的導(dǎo)數(shù)為，所以點(diǎn)處切線的斜率為，
因此，為該拋物線的切線．
（3）（2）的逆命題成立，證明如下：
設(shè)．
若為該拋物線的切線，則，
又直線的斜率為，所以，
得，因，有．
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．