Question

【題目】設函數，.

（1）若對任意，恒成立，求的取值集合；

（2）設，點，點，直線的斜率為求證: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）令，求得導數，結合導數分類討論求得函數的單調性與最值，即可求解.

（2）由點，點，求得，根據（1）求得，進而作出證明.

（1）由題意，函數，

令，則，

若時，，函數為單調遞增函數，

當時，，即，不符合題意；

若時，令，解得，令，解得，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，當時，函數取得最大值，

要使得對任意，恒成立，只需，

令，可得，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞減，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，所以，

即，可得，解得，

所以實數的取值集合為.

（2）由題意知，點，點，

由（1）知，當時，，

所以，所以，

所以，

而

，

所以.