Question

一個口袋中有2個白球和n個紅球（n≥2，且n∈N^*），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．
（1）試用含n的代數式表示一次摸球中獎的概率P；
（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中獎的概率；
（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為f（p），當n為何值時，f（p）最大．

Answer 1

分析：（1）求出一次摸球從n+2個球中任選兩個方法，兩球顏色相同有C_n²+C₂²種選法，即可求出摸球中獎的概率P；
（2）n=3，求出中獎的概率，三次摸球是獨立重復實驗，直接根據公式求三次摸球恰有一次中獎的概率；
（3）求出三次摸球恰有一次中獎的概率為f（p），利用導數確定函數的單調性，求出n的值，使f（p）最大．

解答：解：（1）一次摸球從n+2個球中任選兩個，有C_n+2²種選法，其中兩球顏色相同有C_n²+C₂²種選法；一次摸球中獎的概率P=

C 2 n + C 2 2

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

（4分）
（2）若n=3，則一次摸球中獎的概率是P=

2

5

，三次摸球是獨立重復實驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是P3(1)=

C

1 3

•P•(1-P)2=

54

125

（8分）
（3）設一次摸球中獎的概率是p，則三次摸球中恰有一次中獎的概率是f（p）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，∵f'（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1）∴f（p）在(0，

1

3

)是增函數，在(

1

3

，1)是減函數，
∴當p=

1

3

時，f（p）取最大值（10分）
∴p=

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

（n≥2，n∈N*），
∴n=2，故n=2時，三次摸球中恰有一次中獎的概率最大．（12分）

點評：本題考查組合及組合數公式，等可能事件的概率，考查計算能力，是中檔題．