Question

已知過原點O的一條直線與函數y=log₈x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y＝log2x的圖象交于C、D兩點

(1)證明點C、D和原點O在同一條直線上

(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.

Answer 1

(1)設A、B的橫坐標分別為x₁，x₂，由題設知x₁＞1，x₂＞1，點A(x₁，log₈x₁），B（x₂，log₈x₂）

 

因為A、B在過點O的直線上，所以＝，

 

又點C、D的坐標分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）.

 

由于log₂x₁＝＝3log₈x₁，log₂x₂＝＝3log₈x₂，

 

所以OC的斜率和OD的斜率分別為

 

k_OC＝＝3，k_OD＝＝.

 

由此得k_OC＝k_OD，即O、C、D在同一條直線上.

 

(2)由BC平行于x軸，有log₂x₁＝log₈x₂，解得x₂＝x³₁

 

將其代入＝，得x₁³log₈x₁＝3x₁log₈x₁.

 

由于x₁＞1，知log₈x₁≠0，故x³₁＝3x₁，x₁＝，于是點A的坐標為(，log₈）.