Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+9），其中λ為實數，n為正整數．
（1）若數列{a_n}前三項成等差數列，求λ的值；
（2）試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；
（3）設0＜a＜b，S_n為數列{b_n}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的定義及其通項公式即可得出；
（2）由（1）可知：若λ=-6，數列{b_n}不是等比數列；當λ≠-6時，利用遞推關系可找出b_n+1與b_n的關系即可；
（3）對λ分λ=-6與λ≠-6討論，利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）∵a₁=λ，∴a2=

2

3

a1+1=

2

3

λ+1，a3=

2

3

a2+2=

2

3

(

2

3

λ+1)+2=

4

9

λ+

8

3

．
∵數列{a_n}前三項成等差數列，∴2a₂=a₁+a₃，
∴2(

2

3

λ+1)=λ+

4

9

λ+

8

3

，解得λ=-6．
∴λ的值為-6．
（2）由（1）可知：若λ=-6，則a_n=-6+3（n-1）=3n-9，此時b_n=0不是等比數列；
當λ≠-6時，a_n≠3n-9．
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+9]=(-1)n+1(

2

3

an+n-3n+6)=-

2

3

×(-1)n(an-3n+9)=-

2

3

bn．
又b₁=-（a₁-3+9）=-λ-6≠0，
∴數列{b_n}是以-λ-6為首項，-

2

3

為公比的等比數列．
（3）由（1）（2）可知：①當λ=-6時，b_n=0，對于給定的0＜a＜b，對任意正整數n，0＜a＜S_n＜b不成立．
②當λ≠-6時，假設存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b成立．
由（2）可知：數列{b_n}是以-λ-6為首項，-

2

3

為公比的等比數列，∴bn=(-λ-6)×(-

2

3

)n-1=(-1)n(λ+6)•(

2

3

)n-1．
∴S_n=（-λ-6）[1-

2

3

+(-

2

3

)2+…+(-

2

3

)n-1]=(-λ-6)•

1-(- 2 3 )n

1-(- 2 3 )

=

3(-λ-6)

5

[1-(-

2

3

)n]．
當n→+∞時，(-

2

3

)n→0．
當λ＞-6時，S_n＜0，此時對任意正整數n，a＜S_n＜b不成立．
當λ＜-6時，n=2k（k∈N^*）時，∵

5

9

＜1-(-

2

3

)2k＜1，∴0＜

-λ-6

3

＜Sn＜

3(-λ-6)

5

；
n=2k-1（k∈N^*）時，1＜1-(-

2

3

)2k-1＜

5

3

，∴0＜

3(-λ-6)

5

＜Sn＜(-λ-6)．
∵0＜

-λ-6

3

＜

3(-λ-6)

5

＜（-λ-6）．
∴對于任意正整數n，0＜

-λ-6

3

＜Sn＜-λ-6．
∵設0＜a＜b，S_n為數列{b_n}的前n項和，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b．
∴必有

a≤ -λ-6 3 b≥-λ-6

，解得-6-b≤λ≤-3a-6.(a≤

b

3

)．

點評：數列掌握等差數列的定義及其通項公式、等比數列與等差數列的前n項和公式、分類討論的思想方法、遞推關系是解題的關鍵．