Question

函數的定義域為{x|x≠1}，圖象過原點，且．
（1）試求函數f（x）的單調減區間；
（2）已知各項均為負數的數列{a_n}前n項和為S_n，滿足，求證：；
（3）設，是否存在m₁，，n₁，m₂，n₂∈N*，使得ln2011∈（g（m₁，n₁），g（m₂，n₂））？若存在，求出m₁，，n₁，m₂，n₂，證明結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由己知得出a=0，b=c求得f（x）的解析式，再利用導數工具即可求出函數f（x）的單調減區間；
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，利用數列的通項與前n項和的關系式求得當數列的通項公式：a_n=-n，于是，待證不等式即為．為此，我們考慮證明不等式，下面利用導數研究函數，的單調性，即可證明得到，即；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，只須在中令n=1，2，3，…，20072010，并將各式相加即可得到證明．
解答：解：（1）由己知a=0，b=c．∵且b=2n，n∈N^*∴b=2
∴
于是
由f'（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
故函數f（x）的單調減區間為（0，1）和（1，2）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0
∴a_n-a_n-1=-1（各項均為負數）
當n=1時，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，∴a_n=-n
于是，待證不等式即為．
為此，我們考慮證明不等式
令，則t＞1，
再令g（t）=t-1-lnt，由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，g（t）單調遞增∴g（t）＞g（1）=0于是t-1＞lnt
即①
令，由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，h（t）單調遞增∴h（t）＞h（1）=0于是
即②
由①、②可知
所以，，即
（3）m₁=2，n₁=2011，m₂=1，n₂=2010．
在中令n=1，2，3，…，20072010，并將各式相加得
即ln2011∈（g（2，2011），g（1，2010））．
點評：本題考查等差數列和等比數列的通項公式的求法和數列前n項和的證明，解題時要熟練掌握數列的性質和應用，注意累加法的靈活運用．