Question

設單調遞增函數f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且．
（1）一個各項均為正數的數列{a_n}滿足：f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1其中S_n為數列{a_n}的前n項和，求數列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，是否存在正數M使下列不等式：2ⁿ•a₁a₂…a_n≥M對一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1由題設知．．由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）、假設對一切n∈N^*恒成立．令，．故，由此能導出n∈N^*，g（n）≥g（1）=，．
解答：解：（1）∵對任意的正數x、y均有f（xy）=f（x）+f（y）且．（2分）
又∵a_n＞0且f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f（a_n）+f（a_n+1）+．
∴．（4分）
又∵f（x）是定義在（0，+∞]上的單增函數，
∴S_n=．
當n=1時，a₁=，
∴a₁²-a₁=0∵a₁＞0，
∴a₁=1．
當n≥2時，∵2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴{a_n}為等差數列，a₁=1，d=1
∴a_n=n．（6分）

（2）、假設M存在滿足條件，即M≤對一切n∈N^*恒成立．（8分）
令g（n）=，
∴g（n+1）=．（10分）
故＞1，
∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）單調遞增，（12分）
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=，0＜M≤．（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．