Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設施邊界為曲線f（x）=1-ax²（a＞0）的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，交曲線于點P，設P（t，f（t））．
（1）將△OMN（O為坐標原點）的面積S表示成t的函數S（t）；
（2）若在t=

1

2

處，S（t）取得最小值，求此時a的值及S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的導函數，設出P的坐標，確定過點P的切線方程，進而可得M，N的坐標，表示出三角形的面積；
（2）把t=

1

2

代入S（t），利用導數研究S（t）的最值問題，即可確定△OMN（O為坐標原點）的面積的最小值；

解答：解：（1）∵曲線f（x）=1-ax²（a＞0）
可得f′（x）=-2ax，P（t，f（t））．
直線MN的斜率為：k=f′（t）=-2at，可得
L_MN：y-f（t）=k（x-t）=-2at（x-t），
令y=0，可得x_M=t+

1-at2

2at

，可得M（t+

1-at2

2at

，0）；
令x=0，可得y_N=1+at²，可得N（0，1+at²），
∴S（t）=S_△OMN=

1

2

×（1+at²）×

at2+1

2at

=

(at2+1)2

4at

；
（2）t=

1

2

時，S（t）取得最小值，
S′（t）=

2(at2+1)×2at×4at-4a(at2+1)2

16a2t2

=

(at2+1)(12a2t2-4a)

16a2t2

，
∴S′（

1

2

）=0，可得12a²×

1

4

-4a=0，可得a=

4

3

，
此時可得S（t）的最小值為S（

1

2

）=

(at2+1)2

4at

=

( 4 3 × 1 4 +1)2

4× 4 3 × 1 2

=

2

3

；

點評：本題考查導數知識的運用，解題的關鍵是確定切線方程，求出三角形的面積，利用導數法求最值，屬于中檔題．