Question

(

3

2

+1)n的展開式中有且僅有5個有理項，則最小自然數n等于

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令2的指數為3的倍數，據已知條件求出k取得值，得到r的最大值，利用n，r的關系求出n的最小值．

解答：解：展開式的通項為Tr+1=

C

r n

2

r

3

要使其為有理數，2的指數為整數，所以r為3的倍數
設r=3k且0≤r≤n（r∈N）
∵展開式中僅有5個有理項
∴k=0，1，2，3，4
∴r=0，3，6，9，12，
則有n≥12得n的最小值為12
故答案為：12

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題、考查有理項是冪的指數為整數．