Question

在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規則是:每場投6個球,至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎;否則不獲獎.已知教師甲投進每個球的概率都是.
(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數為X,求X的分布列及數學期望；
(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.

Answer 1

(Ⅰ)X的分布列

X	0	1	2	3	4	5	6
P

數學期望；(Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個獨立重復試驗中成功的次數的離散概率分布，即為二項分布.由二項分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據比賽獲勝的規定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.
試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.
依條件可知，
        3分
X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P

    6分
.
或因為，所以.
即的數學期望為4.     7分
(Ⅱ)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則
    11分
答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.