Question

定義在R上的函數y=f（x）是增函數，且函數y=f（x-2）的圖象關于（2，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-4s）≥-f（4t-t²），若-2≤s≤2時，則3t+s的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據函數圖象平移的公式結合奇偶性定義，可得函數y=f（x）是奇函數．因此將f（s²-4s）≥-f（4t-t²）變形，化簡整理得到（s-t）（s+t-4）≥0，以s為橫坐標、t為縱坐標建立坐標系，結合-2≤s≤2作出不等式組表示的平面區域如圖所示．再將z=3t+s對應的直線l進行平移，即可得到當s=-2，t=6時，3t+s的最大值為16．
解答：解：∵y=f（x-2）的圖象由y=f（x）函數圖象向右移2個單位而得
∴由y=f（x-2）圖象關于（2，0）點對稱，可得函數y=f（x）的圖象關于（0，0）點對稱．
由此可得函數y=f（x）是奇函數
∴f（4t-t²）=-f（t²-4t）
∵f（s²-4s）≥-f（4t-t²），∴f（s²-4s）≥f（t²-4t）
又∵y=f（x）函數是增函數，
∴s²-4s≥t²-4t，移項得：s²-4s-t²+4t≥0
化簡整理可得：（s-t）（s+t-4）≥0
以s為橫坐標、t為縱坐標，建立如圖直角坐標系，
則不等式表示的平面區域如圖所示
即△ABC及其內部，其中A（2，2），B（-2，6），C（-2，-2）
設z=F（s，t）=3t+s，將直線l：z=3t+s進行平移，
可得當l經過點B時，z達到最大值
∴z_max=F（s，t）=3×6+（-2）=16
故答案為：16
點評：本題以函數的奇偶性和不等式等價變形為載體，考查了函數的圖象與基本性質、二元一次不等式表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．