Question

設f（x）=lg（ax²-2x+a），
（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍．
（2）若f（x）的值域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域是實數集，說明對任意實數x都有ax²-2x+a＞0成立，則該二次三項式對應的二次函數應開口向上，且圖象與x軸無交點，由二次項系數大于0，且判別式小于0聯立不等式組求解a的取值范圍；
（2）只有內層函數（二次函數）對應的圖象開口向上，且與x軸有交點，真數才能取到大于0的所有實數，由此列式求解a的取值集合．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域為R，
∴對任意x∈R都有ax²-2x+a＞0恒成立，
則

a＞0 (-2)2-4a2＜0

，解得：a＞1．
∴使f（x）的定義域為R的實數a的取值范圍是（1，+∞）；
（2）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域為R，
∴ax²-2x+a能取到大于0的所有實數，
則

a＞0 (-2)2-4a2≥0

，解得：0＜a≤1．
∴使f（x）的值域為R的實數a的取值范圍是（0，1]．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了函數的值域問題，考查了數學轉化思想方法，解答的關鍵是對題意的理解，是中檔題．