Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）當b＞0時，求證：bb≥(

1

e

)

1

e

（其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到遞減區(qū)間，進一步求出最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當b＞0時，有f(b)≥f(x)min=-

1

e

，整理可得要證的結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，（x＞0），令f'（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．…（2分）
∵e=2.718，28…＞1，∴y=lnx在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴x≥e-1=

1

e

．，∴x∈[

1

e

，+∞)．
同理，令f′(x)≤0可得x(0，

1

e

]．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

e

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

e

]．…（6分）
由此可知y=f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

．…（8分）
（Ⅱ）由（I）可知當b＞0時，有f(b)≥f(x)min=-

1

e

，
∴blnb≥-

1

e

…（10分）
即ln(bb)≥-

1

e

=ln(

1

e

)

1

c

．∴bb≥(

1

e

)

1

c

．…（12分）

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間；函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解，其一般步驟是：先求極值，比較函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有極值與端點函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極大（�。┲�，則該極值就是相應(yīng)的最大（�。┲担�