Question

某同學在研究函數(shù)f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性質(zhì)時，受到兩點間距離公式的啟發(fā)，將f（x）變形為f（x）=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+[0-(-1)]2

，則f（x）表示|PA|+|PB|（如圖），下列關于函數(shù)f（x）的描述正確的是

②③

．（填上所有正確結論的序號）
①f（x）的圖象是中心對稱圖形； 
②f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數(shù)f（x）的值域為[

13

，+∞）；
④方程f[f（x）]=1+

10

有兩個解．

Answer 1

分析：①因為函數(shù)不是奇函數(shù)，所以錯誤．②利用函數(shù)對稱性的定義進行判斷．③利用兩點之間線段最短證明．④利用函數(shù)的值域進行判斷．

解答：解：①因為f（-x）=

x2+1

+

x2+6x+10

≠-f(x)，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以圖象關于原點不對稱，所以錯誤．
②因為f(

3

2

-x)=

( 3 2 -x)2+1

+

( 3 2 -x-3)2+1

=

(x- 3 2 )2+1

+

(x+ 3 2 )2+1

，
f(

3

2

+x)=

( 3 2 +x)2+1

+

( 3 2 +x-3)2+1

=

(x- 3 2 )2+1

+

(x+ 3 2 )2+1

，所以f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，即函數(shù)關于x=

3

2

對稱，所以②正確．
③由題意值f（x）≥|AB|，而|AB|=

32+(-1-1)2

=

9+4

=

13

，所以f（x）≥

13

，即函數(shù)f（x）的值域為[

13

，+∞），正確．
④設f（x）=t，則方程f[f（x）]=1+

10

，等價為f（t）=1+

10

，即

t2+1

+

(t-3)2+1

=1+

10

，所以t=0，或t=3．
因為函數(shù)f（x）≥

13

，所以當t=0或t=3時，不成立，所以方程無解，所以④錯誤．
故答案為：②③

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強，運算量較大，考查學生的分析能力．