Question

已知函數f（x）=+lnx．
（I）當時，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（II）若函數g（x）=f（x）-x在[1，e]上為增函數，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，（x＞0），
∴當x∈[1，2]時，f′（x）＜0；當x∈（2，e]時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上單調遞減，在（2，e]上單調遞增，
∴f（x）在區間[1，e]上有唯一極小值點，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（2）=ln2-1．
又∵f（1）=0，f（e）=．
∴f（x）在區間[1，e]上的最大值為f（x）_max=f（1）=0．
綜上可知，函數f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2-1．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-x，
∴g′（x）=，
設h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，
因為a＞0，h（x）圖象的對稱軸為x=2，
所以只需h（1）=3a-4≥0，所以a≥．
分析：（Ⅰ）求導數，確定函數的單調性，進而可得函數的極值與最值；
（Ⅱ）求導函數g′（x）=，構造函數h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，從而可求正實數a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．