Question

已知等差數列的前項和為，且、成等比數列.
（1）求、的值；
（2）若數列滿足，求數列的前項和.

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：（1）解法1是先令求出的表達式，然后令，得到計算出在的表達式，利用為等差數列得到滿足通式，從而求出的值，然后利用條件、成等比數列列方程求出的值，從而求出、的值；解法2是在數列是等差數列的前提下，設其公差為，利用公式以及對應系數相等的特點得到、和、之間的等量關系，然后利用條件、成等比數列列方程求出的值，從而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出數列的通項公式，然后利用錯位相減法求數列的和；解法2是利用導數以及函數和的導數運算法則，將數列的前項和
視為函數列的前項和在處的導數值，從而求出.
試題解析：（1）解法1：當時，，
當時，
.
是等差數列，
，得.
又，，，
、、成等比數列，
，即，解得.
解法2：設等差數列的公差為，
則.
，
，，.，，.
、、成等比數列，，
即，解得.
；
（2）解法1：由（1）得.
，.
，①
，②
①②得.
.
解法2：由（1）得.
，.
，①
由，
兩邊對取導數得，.
令，得.
.