Question

必做題：解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
已知函數f（x）=ln（ax+1）+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，根據f（x）在x=1處取得極值，可得f'（1）=0，即可求得a的值；
（2）求導函數，分類討論：a≥2，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1；0＜a＜2，可得f（x）在x=

2-a a

處取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1，由此可得a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，∴

2a-2

4(a+1)

=0，∴a=1；
（2）f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，1+x＞0．
當a≥2時，在區間（0，+∞）上f′（x）≥0，f（x）遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，由f′（x）＞0，解得x＞

2-a a

；由f′（x）＜0，解得x＜

2-a a

．
∴f（x）的單調減區間為（0，

2-a a

），單調增區間為（

2-a a

，+∞）．
于是，f（x）在x=

2-a a

處取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1，不合．
綜上可知，若f（x）得最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞） …10分

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值與最值，正確求導是關鍵．