Question

【題目】已知函數，.

（1）對任意的，成立，求實數的取值范圍；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

（1）解法一：構造函數，求出及，然后分類討論。

解法二：當時，恒成立；當時，通過分離得到，令，轉化為求在的最小值。

（2）由分析法要證，即證：繼而由（1）的解法二知：在時恒有，得證.

(1)解法一：令，

，

①當時，對于任意的，，

在為增函數，，

在為增函數，，即，恒成立，滿足.

②當時，令，得

則當時，為減函數，此時，

故函數為減函數，，

即當時，有，矛盾.

綜上，實數的取值范圍是：.

解法二：當時，恒成立；

當時，即為，

轉化為求在的最小值，

，令，，

由知：在為增函數，

故在為增函數，

即，函數在為增函數，故沒有最小值.

又由諾必達法則知：

，故.

（2）證明：要證，即證：，

，，故即證：，左邊分子分母同除以，

即證：

令，則，即證，即證：.

而由（1）的解法二知：在時恒有，得證.