Question

已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）
（1）求函數f（x）-g（x）定義域；判斷函數f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明；
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的真數大于0建立關系式可求出函數的定義域，判斷函數f（x）-g（x）的奇偶性直接利用函數奇偶性的定義；
（2）討論a與1的大小關系，根據函數的單調性建立關系式，解之即可，需注意函數的定義域．

解答：解：（1）使函數f（x）-g（x）有意義，必須有：

1+x＞0 1-x＞0

    解得：-1＜x＜1
所以函數f（x）-g（x）的定義域是{x|-1＜x＜1}             …（4分）
函數f（x）-g（x）是奇函數
證明：∵x∈（-1，1），-x∈（-1，1），…．…（5分）
f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）
=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-[f（x）-g（x）]
∴函數f（x）-g（x）是奇函數                               …（8分）
（2）使f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x）
當a＞1時，有

1+x＞1-x 1-x＞0 1+x＞0

  解得x的取值范圍是（0，1）…（10分）
當0＜a＜1時，有

1+x＜1-x 1-x＞0 1+x＞0

  解得x的取值范圍是（-1，0）…（12分）

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，判斷函數的奇偶性的方法，解對數不等式，屬于中檔題．