Question

某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到元．公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

（1）40元；（2）至少應達到10.2萬件，每件定價為30元．

試題分析：（1）這是函數應用題中涉及銷售的問題，要清楚知道常識性的等式：銷售總收入＝銷售單價×銷售量．提價為元時，銷售量是（）萬件，總收入為，不低于原收入，得不等式；（2）關鍵是弄懂原收入與總投入之和是多少？原收入，總投入，明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和就是不等式
，根據問題的要求，此式變為時，有解（注意不是恒成立），所以的范圍是不小于的最小值．
試題解析：（1）設每件定價為元，依題意，有，
整理得，解得．
∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．   7′
（2）依題意，時，
不等式有解,等價于時，有解, （當且僅當時，等號成立）
.
∴當該商品明年的銷售量至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．  14′