Question

對拋物線C：x²=4y，有下列命題：
①設直線l：y=kx+l，則直線l被拋物線C所截得的最短弦長為4；
②已知直線l：y=kx+l交拋物線C于A，B兩點，則以AB為直徑的圓一定與拋物線的準線相切；
③過點P（2，t）（t∈R）與拋物線有且只有一個交點的直線有1條或3條；
④若拋物線C的焦點為F，拋物線上一點Q（2，1）和拋物線內一點R（2，m）（m＞1），過點Q作拋物線的切線l₁，直線l₂過點Q且與l₁垂直，則l₂一定平分∠RQF．
其中你認為是真命題的所有命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①將直線和拋物線聯立，解出弦長．②利用直線與拋物線的位置關系進行判斷．③設直線方程，聯立拋物線進行求解判斷．
④作出切線，利用拋物線的定義，判斷l₂是否平分∠RQF．

解答：解：①因為拋物線的焦點為F（0，1），直線y=kx+l過焦點F，所以當k=0時，直線l被拋物線C所截得的通徑最短，此時為2p=4，所以①正確．
②直線y=kx+l過焦點F，且拋物線的準線方程為y=-1．所以根據拋物線的定義可知，A，B到拋物線準線的距離之和為AB，
所以AB的中點到準線的距離為

AB

2

，所以此時以AB為直徑的圓一定與拋物線的準線相切，所以②正確．
③當過點P的直線的斜率不存在時，此時為x=2，此時直線和拋物線只有一個交點，此時滿足條件的直線只有1條．當過點P的直線斜率存在時，不妨設為k，
此時和拋物線只有一個交點的直線有兩條切線，所以過點P（2，t）（t∈R）與拋物線有且只有一個交點的直線有1條或2條，所以③錯誤．
④因為拋物線的焦點為F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR為直角三角形，由x²=4y，得y=

1

4

x2，求導得y′=

1

2

x，
所以切線l₁的斜率為k₁=1，即直線l₁的傾斜角為45°，因為直線l₂過點Q且與l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．所以④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了拋物線的定義和性質，以及直線和拋物線的位置關系，綜合性較強，運算量較大．