Question

如圖所示，在一個特定時段內，以點E為中心的10海里以內海域被設為警戒水域．點E正北40

3

海里處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B，經過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20

3

海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）； 
（2）若該船不改變航行方向繼續行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以點A為原點，正東方向為X軸正半軸建系如圖，得出點B，C的坐標，再利用兩點距離公式得BC從而求得小船速度即可；
（Ⅱ）欲判斷它是否會進入警戒水域，只須比較圓心E到直線BC的距離圓的半徑的大小即可．

解答：解析：（1）如圖建立平面直角坐標系：設一個單位為10海里
則坐標平面中AB=10，AC=2

3

A（0，0），E（0，-4

3

）
再由方位角可求得：B（5，5

3

），C（3，

3

）
…4分
所以|BC|=

(5-3)2+(5 3 - 3 )

2=2

13

…6分
所以BC兩地的距離為20

13

海里
所以該船行駛的速度為10

13

海里/小時
…7分
（2）直線BC的斜率為

5 3 - 3

5-3

=2

3

所以直線BC的方程為：y-

3

=2

3

（x-3）
即2

3

x-y-5

3

=0…10分
所以E點到直線BC的距離為

|4 3 -5 3 |

13

=

3

13

＜1…12分
所以直線BC會與以E為圓心，以一個單位長為半徑的圓相交，
所以若該船不改變航行方向則會進入警戒水域．…14分
答：該船行駛的速度為10

13

海里/小時，若該船不改變航行方向則會進入警戒水域．

點評：本題考查已三角函數模型的應用問題，注意選擇正確的坐標系以及合理的定理解答是解好題目的關鍵，考查計算能力．