Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為；求p的值及圓F的方程；
（2）若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點A到準線l的距離，由△ABD的面積S_△ABD=，知=，由此能求出圓F的方程．
（2）由對稱性設，則點A，B關于點F對稱得：，得：，由此能求出坐標原點到m，n距離的比值．
解答：解：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p
點A到準線l的距離，
∵△ABD的面積S_△ABD=，
∴=，
解得p=2，
∴圓F的方程為x²+（y-1）²=8．
（2）由題設，則，
∵A，B，F三點在同一直線m上，
又AB為圓F的直徑，故A，B關于點F對稱．
由點A，B關于點F對稱得：
得：，直線切點
直線
坐標原點到m，n距離的比值為．
點評：本題考查拋物線與直線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線的簡單性質、圓的性質、導數的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．