Question

已知命題p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且僅有一解．命題q：只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0．若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p真，即方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且僅有一解，可求得-2＜a≤-1或1≤a＜2；若命題q真，即只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依題意，
命題p和命題q都是假命題，從而可求得a的取值范圍．

解答：解：由a²x²+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，顯然a≠0，
∴x=-

2

a

或x=

1

a

，
∵方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且僅有一解，
故

| 2 a |≤1 | 1 a |＞1

或

| 1 a |≤1 | 2 a |＞1

∴-2＜a≤-1或1≤a＜2．
只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，
∴△=4a²-8a=0，解得a=0或a=2．
∵命題“p或q”是假命題，
∴命題p和命題q都是假命題，
∴a的取值范圍為{a|a≤-2或-1＜a＜0或0＜a＜1或a＞2}．

點評：本題考查復合命題的真假，求得命題p真與命題q真中a的取值范圍是關鍵，考查分析，理解與運算能力，屬于中檔題．