Question

已知曲線C：x

1

2

+y

1

2

=1，給出下列四個命題：
①曲線C與兩坐標圍成的圖形面積不大于

1

2

②曲線C上的點到原點的距離的最小值為

2

4

③曲線C關于點（

1

4

，

1

4

）中心對稱
④當x≠0，1時，曲線C上所有點處的切線斜率為負值
其中正確命題個數為（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：利用曲線方程的特點結合曲線的圖象分別進行判斷即可．

解答：曲線方程為

x

+

y

=1，(0≤x≤1，0≤y≤1)，交換x，y的位置后曲線方程不變，所以曲線C關于直線y=x對稱，且在第一象限內，因為點（

1

4

，

1

4

）在曲線上，由圖象可知曲線在直線y=-x+1的下方，且為凹函數如圖：
由以上分析可知：①曲線C與兩坐標圍成的圖形面積不大于

1

2

，正確．
②曲線C上的點到原點的距離的最小值為

2

4

，②正確．
③因為點（

1

4

，

1

4

）在曲線上，所以由圖象可知關于點（

1

4

，

1

4

）在曲線上，不對稱所以③錯誤．
④因為函數為凹函數，所以當x≠0，1時，曲線C上所有點處的切線斜率為負值，所以④正確
故選C．

點評：本題主要考查曲線方程的性質的判斷和推理，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性較強難度較大．