Question

（2012•湖南）設N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），將N個數x₁，x₂，…，x_N依次放入編號為1，2，…，N的N個位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N．將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前

N

2

和后

N

2

個位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，
將此操作稱為C變換，將P₁分成兩段，每段

N

2

個數，并對每段作C變換，得到P₂，當2≤i≤n-2時，將P_i分成2ⁱ段，每段

N

2i

個數，并對每段作C變換，得到P_i+1，例如，當N=8時，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此時x₇位于P₂中的第4個位置．
（1）當N=16時，x₇位于P₂中的第

6

個位置；
（2）當N=2ⁿ（n≥8）時，x₁₇₃位于P₄中的第

3×2^n-4+11

個位置．

Answer 1

分析：（1）由題意，可按照C變換的定義把N=16時P₂列舉出，從中查出x₇的位置即可；
（2）根據C變換的定義及歸納（1）中的規律可得出P₄中所有的數字分為16段，每段的數字序號組成以16為公差的等差數列，且一到十六段的首項的序號分別為1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可確定出x₁₇₃位于P₄中的位置．

解答：解：（1）當N=16時，P₀=x₁x₂…x₁₆．由C變換的定義可得P₁=x₁x₃…x₁₅x₂x₄…x₁₆，
又將P₁分成兩段，每段

N

2

個數，并對每段作C變換，得到P₂，故P₂=x₁x₅x₉x₁₃x₃x₇x₁₁x₁₅x₂x₆x₁₀x₁₄x₄x₈x₁₂x₁₆，由此知x₇位于P₂中的第6個位置；
（2）考察C變換的定義及（1）計算可發現，第一次C變換后，所有的數分為兩段，每段的序號組成公差為2的等差數列，且第一段序號以1為首項，第二段序號以2為首項；第二次C變換后，所有的數據分為四段，每段的數字序號組成以4公差的等差數列，且第一段的序號以1為首項，第二段序號以3為首項，第三段序號以2為首項，第四段序號以4為首項，依此類推可得出P₄中所有的數字分為16段，每段的數字序號組成以16為公差的等差數列，且一到十六段的首項的序號分別為1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x₁₇₃位于以13為首項的那一段的第11個數，由于N=2ⁿ（n≥8）故每段的數字有2^n-4個，以13為首項的是第四段，故x₁₇₃位于第3×2^n-4+11=3×2^n-4+11個位置．
故答案為3×2^n-4+11

點評：本題考查演繹推理及歸納推理，解題的關鍵是理解新定義，找出其規律，本題是探究型題，運算量大，極易出錯，解題進要嚴謹認真，避免馬虎出錯