Question

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

3

．
（1）求三棱錐S-ABC的體積；
（2）證明：BC⊥SC；
（3）求異面直線SB和AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）求三棱錐S-ABC的體積，由題設條件得，棱錐的高是SA，底面是直角三角形，體積易求；
（2）證明BC⊥SC可通過證明BC⊥面ASC來證；
（3）分別取AB、SA、BC的中點D、E、F，連接ED、DF、EF、AF，可得∠EDF（或其鄰補角）就是異面直線SB和AC所成的角

解答：解：（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，∴SA⊥面BAC，即SA即是棱錐的高，
又AC=1，BC=

3

，SB=2

3

，=∠ACB=90°
∴AB=2，SA=2

2

∴三角形BAC的面積為

1

2

×1 ×

3

=

3

2

，三棱錐S-ABC的體積為

1

3

×2

2

×

3

2

=

6

3

（2）由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC
又=∠ACB=90°，可得BC⊥AC，又SA∩AC=A
∴BC⊥面SCA
∴BC⊥SC
（3）分別取AB、SA、BC的中點D、E、F，連接ED、DF、EF、AF，由于ED∥SB，DF∥AC，故∠EDF（或其鄰補角）就是異面直線SB和AC所成的角
由上證知DE=

1

2

SB=

3

，DF=

1

2

AC=

1

2

，AE=

2

，在直角三角形ACF中可求得AF=

7

2

在直角三角形EAF中可求得EF=

11

2

在三角形DEF中由余弦定理得∠EDF余弦的絕對值為

1 4 +3- 11 4

2× 1 2 × 3

=

3

6

點評：本題考查求異面直線所成的角，求解本問題的關鍵是注意到所得出的角不一定就兩異面直線的夾角有可能是夾角的補角．