Question

以下四個命題中：
①“若x²+y²≠0，則x，y全不為零”的否命題；
②若A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，有

OM

=

1

3

AO

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，則點M與點A、B、C共面；
③若雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的兩焦點為F₁、F₂，點P為雙曲線上一點，且

PF1

•

PF2

=0，則△PF₁F₂的面積為16；
④曲線

x2

25

+

y2

9

=1與曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）有相同的焦點；
其中真命題的序號為

③

．

Answer 1

分析：①由已知可得，原命題的題設P：x²+y²≠0，結論Q：x，y全不為零，則可得其否命題；
②可由四點共面的向量表示的條件，利用三個向量的系數和為1，即可判斷；
③求出兩個焦點F₁、F₂ 的坐標，Rt△PF₁F₂中，由勾股定理及雙曲線的定義得|PF₁|•|PF₂|=32，從而求得△PF₁F₂面積

1

2

•|PF₁|•|PF₂|的值；
④求出橢圓C的焦點，再確定曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1 （0＜k＜9）為橢圓，確定出它的焦點．

解答：解：①①“若x²+y²≠0，則x，y全不為零”的否命題是：
“若x²+y²=0，則x，y至少有一個為零”，是假命題；
②等號右邊三個向量的系數和為

1

3

≠1，不滿足四點共面的條件，
故不能得到點M與A，B，C一定共面，故②為假命題；
③由題意得  a=3，b=4，c=5，∴F₁  （-5，0 ）、F₂（5，0），
Rt△PF₁F₂中，由勾股定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2•|PF₁|•|PF₂|=4a²+2•|PF₁|•|PF₂|，
∴100=4×9+2•|PF₁|•|PF₂|，∴|PF₁|•|PF₂|=32，
∴△PF₁F₂面積為

1

2

•|PF₁|•|PF₂|=16，故③為真命題；
④由于曲線

x2

25

+

y2

9

=1的焦點為（-4，0），（4，0），
曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1 （0＜k＜9）也是表示橢圓，它的焦點為（0，-4），（0，4），故④為假命題．
故答案為 ③

點評：本題考查命題真假的判斷及雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎知識點的考查．