Question

（本小題14分）已知函數.
(1)若，求曲線在處切線的斜率；
(2)求的單調區間；
（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)曲線在處切線的斜率為.
(Ⅱ)函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（Ⅲ）.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用。
（2）求解導數，根據導數的符號來求解函數的單調增減區間。
（3）根據已知條件可知轉換為函數的最值之間的關系，進而求解得到結論。
解：(Ⅰ)由已知，…………………………（2分）
.故曲線在處切線的斜率為.……………（4分）
(Ⅱ).………………………（5分）
①當時，由于，故，
所以，的單調遞增區間為.…………………………（6分）
②當時，由，得.在區間上，，在區間上，
所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.…（8分）
（Ⅲ）由已知，轉化為.……………………………（9分）
…………………………………………（10分）
由(Ⅱ)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)……………（11分）
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，，……（13分）
所以解得. ……………………（14分）