Question

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（1）現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數的概率；
（2）現從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由任意兩個奇函數的和為奇函數，而原來的六個函數中奇函數有三個，故可用古典概型求解；
（2）ξ可取1，2，3，4，ξ=k的含義為前k-1次取出的均為奇函數，第k次取出的是偶函數，分別求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：解：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知P(A)=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

．
（2）ξ可取1，2，3，4．P(ξ=1)=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

；
故ξ的分布列為

Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．
答：ξ的數學期望為

7

4

．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷、排列組合、古典概型、離散型隨機變量的分布列、期望等知識，及利用所學知識解決問題的能力．