Question

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m為常數且m≠0．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數法設g（x）=ax²+bx+c，再據題設條件建立方程求參數，c=0易求，求a，b要求正確理解g（x+1）=g（x）+2x+1恒成立這一特性，即理解函數相等的意義，通過函數相等轉化出關于a，b的方程求值．
（2）解出函數f（x）的表達式及其定義域，再求導，依據參數m的取值范圍來判斷導數的符號，確定函數f（x）在定義域上的單調性，解答本題時要注意答題格式．

解答：解：（1）設g（x）=ax²+bx+c，g（x）的圖象經過坐標原點，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+1
即：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x²；（6分）
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）在其定義域上單調遞減，證明如下：
∵函數f（x）=mx²+2mx-lnx的定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=2mx+2m-

1

x

=

2mx2+2mx-1

x

．
令k（x）=2mx²+2mx-1，k(x)=2m(x+

1

2

)2-

m

2

-1，
∵-2＜m＜0，∴k（x）=2mx²+2mx-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．
∴當-2＜m＜0時，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞減．（13分）

點評：考查函數相等，求定義域的方法，用導數數判斷函數的單調性，綜合性較強．