Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F₁的直線l與C的左、右2個分支分別交于點A、B．若△ABF₂為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．4
• B．

  7

• C．

  2 3

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義可得可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₂|-|BF₁|=2a，利用等邊三角形的定義可得：|AB|=|AF₂|=|BF₂|，∠F1AF2=60°．在△AF₁F₂中使用余弦定理可得
：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2| •|AF1|cos 60°，再利用離心率的計算公式即可得出．

解答：解：∵△ABF₂為等邊三角形，∴|AB|=|AF₂|=|BF₂|，∠F1AF2=60°．
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，∴|BF₁|=2a．
又|BF₂|-|BF₁|=2a，∴|BF₂|=4a．
∴|AF₂|=4a，|AF₁|=6a．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2| •|AF1|cos 60°，
∴(2c)2=(4a)2+(6a)2-2×4a×6a×

1

2

，化為c²=7a²，
∴e=

c

a

=

c2 a2

=

7

．
故選B．

點評：熟練掌握雙曲線的定義、余弦定理、離心率的計算公式是解題的關鍵．