Question

(20)已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求P的值。

Answer 1

（20）本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力，滿分14分.

(Ⅰ)證法一：∵

∴（）²=（）²，即

整理得

=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                           ①

設點M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則

=0.

即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0.

展開上式并將①代入得

x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0.

故線段AB是圓C的直徑.

證法二：∵

∴

整理得

=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                           ①

若點（x，y）在以線段AB為直徑的圓上，則

去分母得

（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.

點（x₁,y₁）,(x₁,y₂),(x₂,y₁),(x₂,y₂)滿足上方程，展開并將①代入得

x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

所以在線段AB是圓C的直徑.

證法三：∵

∴（）²=（）²，即

整理得

=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                           ①

以AB為直徑的圓的方程是

展開，并將①代入得

x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

所以線段AB是圓C的直徑.

(Ⅱ)解法一：設圓C的圓心為C（x，y），則

 

∵=2px₁，=2px₂（p＞0）.

 

∴x₁x₂=

 

又∵x₁x₂+y₁y₂=0.

 

∴x₁x₂= -y₁y₂,

 

∴-y₁y₂=

 

∵x₁x₂≠0,

 

∴y₁y₂≠0,

 

∴y₁y₂= -4p².

 

∴x=

  

=

所以圓心的軌跡方程為：

y²=px-2p².

設圓心C到直線x-2y=0的距離為d，則

當y=P時，d有最小值由題設得

,

∴p=2.

解法二：設圓C的圓心為C（x、y），則

∵ =2px₁, =2px₂(p＞0).

 

∴x₁x₂=

 

又∵x₁x₂+y₁y₂=0,

∴x₁x₂= -y₁y₂;

∵x₁x₂≠0.

∴y₁y₂= -4p².

 

∵x=

  

所以圓心的軌跡方程為

y²=px-2p².

設直線x-2y+m=0與x-2y=0的距離為則

m=±2.

因為x-2y+2=0與y²=px-2p²無公共點.

所以當x-2y-2=0與y²=px-2p²僅有一個公共點時，該點到x-2y=0的距離最小，最小值為

將②代入③得

y²-2py+2p²-2p=0,有

Δ=4p²- 4（2p²-2p）=0.

∵p＞0，

∴p=2.

解法三：設圓C的圓心為C（x，y），則

若圓心C到直線x-2y=0的距離為d，那么

d=

 

∵ =2px₁, =2px₂(p＞0).

 

∴x₁x₂=

 

又∵x₁x₂+y₁y₂=0,

∴x₁x₂= -y₁y₂,

∵x₁x₂≠0.

 

∴y₁y₂=-4p².

 

∴d=

 

  

當y₁+y₂=2p時，d有最小值由題意得

∴p=2.