Question

（12分）如圖，直三棱住

為側棱上一點，。

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求點到平面的距離。

Answer 1

解析：證明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，易知面

ACC₁A₁⊥面ABC，

∵∠ACB=90°，∴BC⊥面ACC₁A₁， ………2分

∵面ACC₁A₁，∴BC⊥AM

∵，且，∴ AM^平面 ……4分

解：（Ⅱ）設AM與A₁C的交點為O，連結BO，由（1）可知

AM ^ OB，且AM ^ OC，

所以∠BOC為二面角B－AM－C的平面角，……6分

在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠AA₁C=∠MAC

∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC，∴    

∴

∴在Rt△ACM中，

 ∵，∴

∴在Rt△BCO中，tan

∴，故所求二面角的大小為45°   …… 8分

(Ⅲ)設點C到平面ABM的距離為h，易知，

可得      ……9分

∵                     

∴，

∴

∴點C到平面ABM的距離為 ……12分        

解法二：（1）同解法一 ……………4分

（Ⅱ）如圖以C為原點,CA，CB， CC₁所在直線分別

為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系，

則，設

∵，∴

即，故，

所以    ……6分

設向量為平面AMB的法向量，則

，則 即 ，

令x=1，則平面AMB的一個法向量為，顯然向量是平面AMC的一個法向量，

易知，與所夾的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小為45°．

……8分

(Ⅲ)向量在法向量上的投影的長即為所求距離，

∵  

∴點C到平面ABM的距離為       ……12分