Question

【題目】已知平面直角坐標系內的動點P到直線的距離與到點的距離比為．

（1）求動點P所在曲線E的方程；

（2）設點Q為曲線E與軸正半軸的交點，過坐標原點O作直線，與曲線E相交于異于點的不同兩點，點C滿足，直線和分別與以C為圓心，為半徑的圓相交于點A和點B，求△QAC與△QBC的面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1) 設動點P的坐標為, 由題意可得,整理可得曲線E的方程；

(2) 解法一：可得圓C方程為，設直線MQ的方程為，設直線NQ的方程為，分別與圓聯立，可得，，可得，可得，代入可得答案；

解法二：可得圓C方程為，設直線MQ的方程為，則點C到MQ的距離為， ， ，設直線NQ的方程為，同理可得： ，，可得，代入可得答案.

解：（1）設動點P的坐標為，由題意可得，

整理，得：，即為所求曲線E的方程；

（2）（解法一）由已知得：，，，即圓C方程為

由題意可得直線MQ，NQ的斜率存在且不為0

設直線MQ的方程為，與聯立得：

所以，

同理，設直線NQ的方程為，與聯立得：

所以

因此

由于直線過坐標原點，所以點與點關于坐標原點對稱

設，，所以，

又在曲線上，所以，即

故，

由于，所以，

（解法二）由已知得：，，，即圓C方程為

由題意可得直線MQ，NQ的斜率存在且不為0

設直線MQ的方程為，則點C到MQ的距離為

所以

于是，

設直線NQ的方程為，同理可得：

所以

由于直線l過坐標原點，所以點M與點N關于坐標原點對稱

設，，所以，

又在曲線上，所以，即

故，

由于，所以，