Question

【題目】如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由分別為，的中點，，根據條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；

（2）根據已知條件求得和到的距離，根據椎體體積公式，即可求得.

（1）分別為，的中點，

又

在等邊中，為中點，則

又側面為矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）過作垂線，交點為，

畫出圖形，如圖

平面

平面，平面平面

又

為的中心.

故：，則，

平面平面，平面平面，

平面

平面

又在等邊中

即

由（1）知，四邊形為梯形

四邊形的面積為：

，

為到的距離，

.