Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當x∈[﹣2，2]時，函數f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f（x）=（x﹣2）|x+1|，

當x≤﹣1時，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，

此時函數為增函數；

當x＞﹣1時，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，

此時函數在（﹣1， ]上為減函數，在[ ，+∞）上為增函數；

綜上可得：當a=1時，函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣1]，[ ，+∞）

（2）解：當x∈[﹣2，2]時，函數f（x）= ，

①當﹣a≤﹣1，即a≥﹣1時，

若x∈[﹣2，1]，則f（x）≤0，

若x∈（1，2]，則f（x）＞0，且為增函數，

故g（a）=f（2）=2+a；

②當﹣a≥2且 ≤2，即﹣3≤a≤﹣2時，

g（a）=f（ ）=（ ）2，

③當﹣a≥2且 ＞2，即a＜﹣3時，

g（a）=f（2）=﹣2﹣a，

④當1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1時，

g（a）=max{f（ ），f（2）}=max{（ ）2，2+a}=

綜上可得：g（a）=

【解析】（1）a=1時，f（x）=（x﹣2）|x+1|，分段討論可得函數的單調遞增區間；（2）當x∈[﹣2，2]時，函數f（x）= ，分段討論可得函數f（x）的最大值g（a）的表達式．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．