Question

（08年永定一中二模理）（12分）

如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，

且，為中點.

（1）求證：平面；    　

（2）求二面角的大小；

（3）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，確定

點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：解法一：（1）證明：∵底面為正方形，

      ∴，又，

      ∴平面，

∴.      …………………………………………………………………2分

同理，   …………………………………………………………………3分

又.

∴平面．  ……………………………………………………………4分

（2）解：設為中點，連結，

      又為中點，

可得，從而底面．

過 作的垂線，垂足為,連結．

      由三垂線定理有，

∴為二面角的平面角.     ………………………………6分

在中，可求得   

∴．                  …………………………………7分

∴ 二面角的大小為．   …………………………………8分

（3）解：由為中點可知,

要使得點到平面的距離為，

即要點到平面的距離為.

      過 作的垂線，垂足為,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即為點到平面的距離.

∴，

∴．                 ………………………………………………11分

設，

由與相似可得

，

∴，即．

∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．

……………………12分

解法二：

（1）證明：同解法一．

（2）解：建立如圖的空間直角坐標系，   ……………………………………5分

則.         

設為平面的一個法向量，

則， ．

又

 

令則

得．  …………………………………………………………………6分

又是平面的一個法向量，……………………………………7分

設二面角的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為．     ………………………………8分

（3）解：設為平面的一個法向量，

則，．

又，

 

      令則

得． …………………………………………………………………10分

又

∴點到平面的距離，

∴，

解得，即 .

∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點．……12分