Question

設f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且在區間（0，+∞）上單調遞增，若f(

1

2

)=0，三角形的內角A滿足f（cosA）＜0，則A的取值范圍是

(

π

3

，

π

2

)∪(

2π

3

，π)

．

Answer 1

分析：根據函數在R上的奇偶性和在區間（0，+∞）上的單調性可以判斷f（x）在區間（-∞，0）的單調性再分角A是銳角，直角還是鈍角三種情況討論，cosA的正負，利用f（x）的單調性解不等式．

解答：解：∵f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且在區間（0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在區間（-∞，0）上也單調遞增．
∵f(

1

2

)=0，∴f(-

1

2

)=0，
當A為銳角時，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0變形為f（cosA）＜f（

1

2

），0＜cosA＜

1

2

，

π

3

＜A＜

π

2

當A為直角時，cosA=0，而奇函數滿足f（0）=0，∴A為直角不成立．
當A為鈍角時，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0變形為f（cosA）＜f（-

1

2

），＜cosA＜-

1

2

，

2π

3

＜A＜π
綜上，A的取值范圍為(

π

3

，

π

2

)∪(

2π

3

，π)
故答案為(

π

3

，

π

2

)∪(

2π

3

，π)

點評：本題主要考查了綜合運用函數的單調性和奇偶性解含函數符號的不等式，易錯點是只考慮函數在（0，+∞）的單調性，沒有考慮（-∞，0）的單調性．