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過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

，則這樣的直線l共可以作出（）
A．1條
B．2條
C．3條
D．4條

【答案】分析：根據題意，因為AD₁∥BC₁，所以直線AC和BC₁所成的角即為直線AC和AD₁所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

，可轉化為過點A在空間作直線l，使l與直線AC和AD₁所成的角都等于

．可分在平面ACD₁內和在平面ACD₁外兩種情況尋找．因為要與直線AC和AD₁所成的角都相等，故在平面ACD₁內可考慮角平分線；在平面ACD₁外可將角平分線繞點A旋轉考慮．
解答：解：因為AD₁∥BC₁，所以直線AC和BC₁所成的角即為直線AC和AD₁所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

，即過點A在空間作直線l，使l與直線AC和AD₁所成的角都等于

．
因為∠ACD₁=60°，∠ACD₁的外角平分線與AC和AD₁所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD₁內有一條滿足要求．
因為∠ACD₁的角平分線與AC和AD₁所成的角相等，均為30°，將角平分線繞點A向上轉動到與面ACD₁垂直的過程中，存在兩條直線與直線AC和BC₁所成的角都等于

，故符合條件的直線有3條．
故選C
點評：本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉化能力．

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科目：高中數學 來源： 題型：

過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心O與棱AB，AD，AA₁所在直線都成等角的平面個數是（　　）

A．1

B．2

C．4

D．8

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F分別是棱AA'，CC'的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB'、DD'交于M，N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②當且僅當x=

時，四邊形MENF的面積最小；
③四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調函數；
④四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數；
以上命題中假命題的序號為（　　）

A．①④

B．②

C．③

D．③④

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F 分別是棱AA'，CC'的中點，過直線E、F的平面分別與棱BB′，DD′交于M、N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①當且僅當x=0時，四邊形MENF的周長最大；
②當且僅當x=

時，四邊形MENF的面積最小；
③四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數；
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個多面體．
以上命題中正確命題的個數（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

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科目：高中數學 來源： 題型：

正方體ABCD-A^/B^/C^/D^/的棱長為8cm，M，N，P分別是AB，A^/D^/，BB^/棱的中點．
（1）畫出過M，N，P三點的平面與平面A^/B^/C^/D^/及平面BB^/C^/C的交線，并說明畫法的依據；
（2）設過M，N，P三點的平面與B^/C^/交于點Q，求PQ的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，則：
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E有可能是菱形；
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正確結論的序號是

．

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