Question

【題目】已知定義在區間[﹣ ，π]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x= 對稱，當x≥ 時，函數y=sinx．
（1）求f（﹣ ），f（﹣ ）的值；
（2）求y=f（x）的表達式
（3）若關于x的方程f（x）=a有解，那么將方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為Ma ， 求Ma的所有可能取值及相應a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（﹣ ）=f（π）=sinπ=0，

f（﹣ ）=f（ ）=sin =

（2）解：設﹣ ，則 ，

∴f（x）=f（ ）=sin（ ）=cosx，

∴f（x）=

（3）解：作函數f（x）的圖象如下：

顯然，若f（x）=a有解，則a∈[0，1]．

① 若0 ，f（x）=a有兩解，Ma= ；

②若a= ，f（x）=a有三解，Ma= ；

③若 ＜a＜1，f（x）=a有四解，Ma=π；

④若a=1，f（x）=a有兩解，Ma= ；

綜上所述，當0≤a＜ 或a=1時，f（x）=a有兩解，Ma= ；

當a= 時，f（x）=a有三解，Ma= ；

當 時，f（x）=a有四解，Ma=π

【解析】（1）由題意可求f（﹣ ）=f（π）=sinπ=0，f（﹣ ）=f（ ）=sin = ．（2）設﹣ ，則 ，由f（x）=f（ ）=sin（ ）=cosx，即可解得分段函數的解析式f（x）= ．（3）作函數f（x）的圖象，若f（x）=a有解，則a∈[0，1]，分情況討論即可得解．