Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S=a_n(S_n-).
（1）求S_n的表達式；
（2）設b_n=，求{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）S_n=（2）T_n==.  

（1）∵S=a_n，a_n=S_n-S_n-1，（n≥2），
∴S=（S_n-S_n-1）,
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，                                       ①   4分
由題意S_n-1·S_n≠0，
①式兩邊同除以S_n-1·S_n，得-=2，
∴數列是首項為==1，
公差為2的等差數列.                                      6分
∴=1+2（n-1）=2n-1，∴S_n=.                               8分
（2）又b_n==
=，                                           10分
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
==.                                         14分