Question

【題目】已知函數，若方程f（x）﹣m=0恰有兩個實根，則實數m的取值范圍是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

通過求導，得出分段函數各段上的單調性，從而畫出圖像.若要方程f（x）﹣m=0恰有兩個實根，只需y=m與y=f（x）恰有兩個交點即可，從而得出的取值范圍.

（1）x≤0時，f′（x）=ex﹣x﹣1，易知f′（0）=0，而f″（x）=ex﹣1＜0，

所以f′（x）在（﹣∞，0]上遞減，故f′（x）≥f′（0）=0，故f（x）在（﹣∞，0]上遞增，

且f（x）≤f（0），當x→﹣∞時，f（x）→﹣∞.

（2）x＞0時，，令f′（x）＞0，得0＜x＜e；f′（x）＜0得x＞e；

故f（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）遞減，

故x＞0時，；x→0時，f（x）→﹣∞；x→+∞時，f（x）→0.

由題意，若方程f（x）﹣m=0恰有兩個實根，只需y=m與y=f（x）恰有兩個交點，同一坐標系畫出它們的圖象如下：

如圖所示，當直線y=m在圖示①，②位置時，與y=f（x）有兩個交點，所以m的范圍是：.

故答案為：.